Il metro che misura l'Universo si sta restringendo con il tempo

Avete mai provato a ingoiare in un solo boccone un intero muffin? Impossibile, direte. Giusto. Molto meglio farlo a pezzi, deglutire prima una parte e poi un’altra. Fino a degustarlo tutto. Ecco: la scorsa settimana Spazio Curvo ha sfornato per voi un bel muffin sull’espansione dell'Universo. Roba tosta, non proprio da tutti i giorni. Quando stavamo per servirvelo, abbiamo pensato che digerire la metrica spazio-temporale e la crescita del cosmo in un solo colpo potesse essere un po' troppo. Meglio affrontarlo un boccone alla volta. C'è un motivo se la scorsa settimana vi abbiamo fornito solo un assaggio: la spiegazione che vi abbiamo proposto dell'espansione dell'Universo era fuori standard rispetto a quelle che normalmente trovereste su altri siti di divulgazione scientifica. Dunque ne andava prima colto il senso.

Di solito per spiegare come si espande il cosmo si usano gli esempi del palloncino o del pane. Nel primo immaginate di disegnare dei puntini su un palloncino e poi di gonfiarlo: mentre entra l'aria, i due punti si allontanano. Nel secondo immaginate invece un impasto di pane alle olive: mentre il pane lievita, due pezzi di oliva all'interno dell'impasto si allontanano. In entrambi i casi, quello che sta succedendo è che la distanza tra i due puntini o i pezzi di oliva sta aumentando. Bene. Noi però abbiamo voluto dirvi che c'è un'altra strada per capire che la distanza aumenta, senza dover gonfiare il palloncino o lasciare il pane lievitare: e cioè pensare che in realtà a cambiare è il metro con cui misuriamo la distanza tra i puntini e le olive (leggi qui l’articolo).

Perché abbiamo deciso di raccontarvelo così, invece che con i classici esempi? Per due motivi. Il primo è che in quel modo si è portati a immaginare che l'Universo, come il pane o il palloncino, si espanda in uno spazio esterno più grande. Ma non è questo che ci dicono le equazioni. Come vi avevamo spiegato, infatti, il problema è che il termine "espansione" può creare confusione quando si parla di Universo. Gli esempi infatti continuano dicendo di immaginare che fuori il palloncino o il pane non ci sia nulla e che questi "si espandano", ma senza occupare un altro spazio esterno. È difficile? Lo capiamo. Quello che proponiamo quindi è cercare di non dire più che è l'Universo ad espandersi, ma solo che sono le distanze ad aumentare. "Ma non è la stessa cosa?", penserete. Non proprio. Lo è infatti solo nello spazio a cui siamo abituati, ovvero lo spazio piatto con geometria euclidea. Ma non in relatività generale.

Non preoccupatevi se pensate che la penultima frase sia incomprensibile. Proviamo a spiegarlo meglio nelle righe che seguono. Per farlo, dobbiamo entrare nel cuore della relatività generale. E questo è il secondo motivo per cui abbiamo scelto questa interpretazione non-standard. Essa ci dà infatti l'opportunità di parlare un po' della matematica della relatività generale, che è la teoria che usiamo per spiegare tutti i fenomeni gravitazionali, e quindi anche l’espansione dell'Universo… ops, l'aumento delle distanze tra le galassie.

Il concetto fondamentale che ci serve introdurre è quello di metrica, ovvero la struttura delle distanze dello spazio-tempo. Cominciamo da un esempio familiare: se la linea di partenza di una gara è alle coordinate (0,0,0) e il traguardo a (100,0,0), quale è la loro distanza? Facile: d=100metri. Dal punto di vista matematico, quello che avete implicitamente fatto è usare la cosiddetta metrica Euclidea, che definisce la distanza tra due punti di coordinate (x₁,y₁,z₁) e (x₂,y₂,z₂) come d = √(Δx²+Δy²+Δz²) (dove Δx = x₂-x₁e via dicendo per y e z ). Questa metrica è statica, ovvero non cambia con il tempo. Se un corridore arriva al traguardo e si ferma per rifocillarsi, la sua distanza dalla partenza rimane 100 metri. In altre parole, l’unico modo per due oggetti di allontanarsi l’uno dall’altro è cambiare le loro coordinate, andando ad occupare altro spazio. Ma è sempre così?

La rivoluzione concettuale della relatività generale è che la presenza di grandi masse ed energie (per esempio un pianeta o una stella) altera la metrica, e quindi le distanze che così possono addirittura variare con il tempo!

Applichiamo il tutto alla cosmologia, ovvero risolviamo le equazioni della relatività generale usando la distribuzione di materia ed energia dell'Universo. La metrica che ne risulta è detta metrica FRLW, o di Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker. In questa metrica, la distanza tra due oggetti alle coordinate (x₁,y₁,z₁) e (x₂,y₂,z₂) è d = a(t) √(Δx²+Δy²+Δz²). La differenza rispetto all'usuale metrica Euclidea è la presenza del fattore moltiplicativo a(t), detto "fattore di scala". Nel modello cosmologico standard, esso aumenta all’aumentare del tempo t: nella nostra analogia, la distanza tra il corridore che si rifocilla al traguardo e la partenza sarebbe 100.1 metri dopo dieci minuti, 100.4 metri dopo un’ora, e così via. Due galassie, quindi, rimangono nelle stesse coordinate del nostro sistema di riferimento, ma la loro distanza cambia con lo scorrere del tempo. Per questo vi abbiamo detto che il metro si restringe, nel senso che tra le due galassie le tacche del metro aumentano. L'effetto nella nostra mente (che ragiona in termini euclidei) è che l'Universo si espande. La differenza è che così lo fa senza bisogno di occupare uno spazio più grande. In questo modo non abbiamo bisogno di pensare a palloncini o pani che si espandono e poi cancellare quello che c’è fuori, il tutto utilizzando le basi fondamentali della teoria della relatività generale.

Concludiamo con una precisazione. Qualcuno tra voi lettori è stato confuso dal fatto che se il metro che usiamo per misurare la distanza tra le galassie è l'anno-luce, il fatto che "si restringe" sembrerebbe implicare che la luce percorra meno spazio in un anno col passare del tempo. Eppure sappiamo che la velocità della luce nel vuoto è costante. E allora cosa sta andando storto? La domanda è molto interessante e la risposta è già nascosta in quanto detto nei precedenti paragrafi. Pensateci, e vi risponderemo più in dettaglio la prossima settimana in un articolo dedicato a quali strumenti usiamo per misurare queste distanze tra le galassie.

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